极坐标与参数方程教案.docx

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1、极坐标与参数方程【教学目标】1、知识目标：（1）掌握极坐标的意义，会把极坐标转化一般方程（2）掌握参数方程与一般方程的转化2、能力目标：通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力，多方面考虑事物，培养他们的创新精神和思维严谨性.3、情感目标：培养学生数形结合是思想方法.【教学重点】1、极坐标的与一般坐标的转化2、参数方程和一般方程的转化3、几何证明的整体思路【教学难点】极坐标意义和直角坐标的转化【考点分析】坐标系与参数方程和几何证明在广东高考中为二者选一考，一般是5分的比拟容易的题，知识相比照拟独立，与其他章节联系不大，容易拿分.根据不同的几何问题可以建立不同的坐标系，坐标系选取的恰当

2、与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及它们位置关系的数据确立.有些问题用极坐标系解答比拟简单，而有些问题如果我们引入一个参数就可以使问题容易入手解答，计算简便.高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定.【根本要点】一、极坐标和参数方程：1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点0,叫做极点；自极点0引一条射线OX叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.2 .点M的极坐标，设M是平面内一点，极

3、点0与点M的距离IOMI叫做点M的极径，记为0；以极轴OX为始边，射线OM为终边的NXoM叫做点M的极角，记为。.有序数对（夕,夕）叫做点M的极坐标,记为M（0,e）.极坐标（0,夕）与（夕,。+2k）（kZ）表示同一个点.极点0的坐标为（0,）（R）.3 .极坐标与直角坐标的互化：4 .圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是2=J在极坐标系中，以C(a,O)(aO)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是0=2acos6;在极坐标系中，以C(a,)(a0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是p=2asin65 .参数方程的1念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的

4、坐标x,y都是某个变数t的函数Xf(t)，“并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方J=g(t),程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.6 .圆(x-a)2+(y-b)2=产的参数方程可表示为L参数)y=b+rsin.椭圆+A=1(abO)的参数方程可表示为I=acs”(e为参数).aby=bsin0抛物线y2=2px的参数方程可表示为x=2pt”(t为参数).y=2ptX=xn+tcos,经过点M(x,y),倾斜角为的直线1的参数方程可表示为0(t为参数

5、).y=yo+tsn.【典型例题】题型一：极坐标与直角坐标的互化和应用0JT例1、(1)点M的极坐标(5,)化为直角坐标为OB3A.(-,-)B.得,岁)D.弓,亭)(2)点M的直角坐标为(-5,-l)化为极坐标为OB5万、77tx1cxCTTA.(2,-)B.(2,-)C.(2,)D.(2,)6666评注：极坐标和直角坐标的互化，注意角度的范围.变式1:(1)点(2,-2)的极坐标为.(2)在极坐标系中，圆心在A(l,三)，半径为1的圆的极坐标方程是.4评注：注意曲线极坐标与直角坐标的互化之间的联系.例2、(1)曲线的极坐标方程0=4sinO化成直角坐标方程为()A.x2+(y+2)2=4B

6、.x2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y2=4D.(x+2)2+y2=4【解析】将P=JX2+y2,sin=-y=pzfp=4sin,得x?+y2=4y,即2+(y-2)2=4.，应选B.(2) OOi和。O2的极坐标方程分别为夕=4COS0,p=-4sin0.把。01和。02的极坐标方程化为直角坐标方程；求经过。01,。2交点的直线的直角坐标方程.【解析】以极点为原点，极轴为X轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位.(1)X=pcos0,y=PSino,由0=4cos0,得夕2=4cos0.所以2+y2=4x.即x2+y2-4x=0为0O的直角坐标方程.同理x2+y2+

7、4y=0为。O2的直角坐标方程.(2)由卜：一标=。，解得卜1=0,或卜2=2,即。o”002交于点(0,0)和(2,-2).x2+4y=0,5=0,为=一2.过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.变式1：极坐标P=CoS(工-6)表示的曲线是()4A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆【解析】原极坐标方程化为(COS+sin)=J2p2=pcos+psinr，普通方程为J(2+y2)=x+y,表示圆.应选D.变式2:在极坐标系中与圆夕=4sin9相切的一条直线的方程为0A.PCOSe=2B.psin=2冗冗C.p=4sin(+y)D.p=4sin(-y)【解析】Ap=4sin的普通方程为f+(y

8、-2=4,PCOs=2的普通方程为x=2圆/+。-2)2=4与直线1=2显然相切.例3、在极坐标系中，两点P(5,Qd,-)求线段PQ的长度；44Tr变式1、在极坐标系中，直线PSin(O+一尸2被圆P=4截得的弦长为.4变式2、在极坐标系中，点(1,0)到直线MeOSe+sin)=2的距离为.例4、极坐标方程分别为p=2cos6和夕=Sin，的两个圆的圆心距为；变式1、把极坐标方程PCOS（J-X）=I化为直角坐标方程是.6变式2、在极坐标系中，圆心在（、历,乃）且过极点的圆的方程为变式3、在极坐标系中，假设过点A（3,0）且与极轴垂直的直线交曲线夕=4cos9于A、B两点，那么IABI=.

9、题型二：参数方程的互化和应用例1、假设直线I=2C为参数）与直线4x+6=l垂直，那么常数Z=.y=2+3fX-1+f变式1、设直线4的参数方程为jy1+3（t为参数），直线6的方程为y=3x+4那么/与4的距离为变式2、直线。为参数）与直线小2-4y=5相交于点3,又点A（l,2）,那么y=2-今AB=ox=2-t变式3、直线2”为参数）被圆d+丁=4截得的弦长为.y=-1+-Z2ZX=3+3CoS6,X=3t例2、经过曲线C：（夕为参数）的中心作直线/:r-It为参数）的垂线，求中心y=3siny=3到垂足的距离.aka.x=3+3cos,【解析】由曲线C的参数方程消去参数。,y=3sin

10、8得（x-3）2+y2=9.曲线C表示以（3,0）为圆心，3为半径的圆.X=3r瓜由直线1的参数方程L,消去参数t,得y=9y=3r3表示经过原点，倾斜角为30。的直线.如图,在直角三角形OCD中，OC=3,ZCOD=30o,所以CD=。，所以中心到垂足的距离为入22y2+si11-:(。为参数)化为普通方程为()y=Sin2(9A.y=x-2B.y=x+2C.y=x-2(2x3)D.y=x+2(0yl)=Sin2。变式2、以下在曲线4(。为参数)上的点是()y=cos8+sin6A.(,-V)B(-(，5)C.(2,6)D.(1,3)变式3、P是曲线!二（60,2乃）是参数）上一点，尸到点0

11、（0,2）距离的最小值y=l-sin2。是.（选讲）变式4、点P（x,y）在曲线J=2+cs（g为参数）上，那么2的取值范围为.y-sinXJC=d+gT例4、参数方程。为参数）的普通方程为Oy=2（et-et）变式1、参数方程（t为参数）的普通方程为1xt+-【解析】由，22得，2.y2=4,方程表示双曲线.t题型三：参数方程与圆锥曲线例1、参数方程（e为参数）的普通方程为。y=5cos-y4S111?SIn29【解析】:得四+2,得匚+二勺表示椭圆.y=5cosnK1625CoS6=5例2、（选讲）在平面直角坐标系XOy中，设P（x,y）是椭圆+y2=l上的一个动点，求S=x+y的最大值.

12、【解析】由椭圆二+y2=l的参数方程为卜=cos（e为参数），31y=sine可设动点P的坐标为（Jcos,sine）淇中OweV2*因此，S=x+y=V3cos+sin=2+ -sm =2sm （夕+ 1）.所以当e=9时，S取得最大值2.变式1:2x2+3y2-6x=0（x,y三R）,那么x?+y2的最大值为.【解析】9题型四：综合运用例1、以直角坐标系的原点为极点，无轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。直线的极坐标方程为，=K（pR）,它与曲线IX=I+2cs4y=2+2sin（为参数）相交于两点A和B,那么IABI=.COSe例2、在直角坐标系中，曲线G的参数方程为（/

13、e0z,以X轴的正半轴为极轴建立极坐y=sin。标系，曲线。2在极坐标系中的方程为0=/假设曲线G与有两个不同的交点，那么Slne-COS夕实数b的取值范围是.例3、在极坐标系下，圆0：夕=COSe+sin。和直线/:psin（e-?）=,（1）求圆O和直线/的直角坐标方程；（2）当e（0,r）时，求直线/与圆O公共点的一个极坐标.,1,1X=-4+cosr,t,fx=8cos,皿，例4、曲线C”（t为参数），C,：八（6为参数）。y=3+sin/,y=3sin6,（1）化a，c2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;JT。3：X = 3 + 21,7 = -2+/C为参数）距离的最小

14、值。（2）假设G上的点P对应的参数为f=,Q为C2上的动点，求尸。中点M到直线【稳固练习】x2cos6一,（为参数）的位置关系是（）y-2smA.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心Y-Q/24-92,曲线的参数方程为1*一“，（t是参数），那么曲线是O,y=r-A、线段B、双曲线的一支C、圆D、射线3、点（2,-2）的极坐标为.4、直线/经过点P（1,1）,倾斜角直线/的参数方程为.65、极坐标系中，圆P=IOCOS（5-可的圆心坐标为.6、点P的直角坐标为（1,-6）,那么点P的极坐标为.7、假设A（3,总，b（%J）,那么IABI=,Saob=.1其中O是极点）8、极点到直线2（COSe+sin6）=G的距离是.9. 12011广东文）两曲线参数方程分别为阮益）（0）和卜E=W（tR）,它们的交Iy=Slney=f点坐标为.10. 109广东）假设直线Y为参数）与直线一（S为参数）垂直，那么=.y=2+kt.y=1-25.x=2