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1、课堂导学三点剖析一、利用导数求最值【例1】x、y为正实数，且满足关系式2-2x+4yJ,求Xy的最大值.思路分析:题中有两个变量X和y,首先应选择一个主变量，可利用换元法,然后再求导.解:由x22x+4y2=0,得(XT)2+4y2=1(x0,y0).设X-I=Cos,y=-sin(0),2xy=-sin(l+cos).2设f()=sin(l+cosa)=sina+sinacosa,222f,(a)=cosa+cos2a-sin2a=(2cos2a+cosa-1)=(cosa+1)(cosa22222令f(a)=0,得COSa=T或COSa=2.0an,a=,此时x=一,y=.324J71、3
2、6.p,_373f(一)=-Lf(a)Jax=,388hi3V3L3V3即当x=-,y=时，(xy)ax=-.248温馨提示在实现转化的过程中，关键是要注意变量的取值范围必须满足题设条件，以免陷入困境.二、求最值的常见技巧【例2】(2019北京高考)函数f(x)=-3+3x2+9x+a,(1)求f(x)的单调减区间；(2)假设f(x)在区间-2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.解(x)=-32+6x+9.令f(x)0,解得x3,所以函数f(x)的单调递减区间为(-8,)t(3+).(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(2
3、)f(-2).因为在(T,3)f,(x)0,所以f(x)在-1,2上单调递增，又由于f(x)在-2,-1上单调递减，因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间-2,2上的最大值和最小值.于是有22+a=20,解得a=-2.故f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此f(T)=1+3-9-2=7,即函数f(x)在区间-2,2上的最小值为-7.温馨提示注意比拟求函数的极值与最大值的不同.三、综合应用【例3】设函数f(x)是定义在-1,O)U(O,1上的偶函数，当xT,0)时,f(x)=xax(aR)(1)当x(O,l时，求f(x)的解析式；假设a3,试判断f(x)在(0,1上的单调性，并证明你的结
4、论；(3)是否存在a,使得当x(0,l时,f(x)有最大值1.解：(l)e(O,l时,rw-1,O),：.f(-x)=(-)3-a(-)=a-3.又f(x)为偶函数，f(-x)=f(x),即f(x)=a-3.(2)f,(x)=-3xz+a,Vx(O,l,x2(0,l.-3x-3.Va3,-3x2+a0,f(x)(0,l上为增函数.假设存在a,使得当x(O,l时,f(x)有最大值1.：.f,(x)=a-32.令f(x)=0,-3x2+a=0,即a0时，x=.3又（O,l,x=画且画3x3)；(2)f(x)=6-12x+x3,x-,1.3解：(l)f(x)=3-3x令f(x)=0,得x=l,f(1
5、)=2,f(-1)=-2.又f(-3)=0,f(3)=-18,工f(x)wx=2,f(x)nin=-18.(2)f(x)=-12+3x2=O,x=2.当x(-8,-2)时,f(x)O,.f(x)为增函数.当x(-2,2)时,f(x)O,.f(x)为减函数.当Xe-,1时，f(x)为减函数.3，f(X)nin=f=-5,f(X)m=f(-L)=生.327变式提升1求y二|3x-姗在-2,2上的最大值及最小值.M：Vf(x)=y=I3x-x3=x3-2满足f(-x)=f(x)为偶函数,只需考查其在0,2上的最大值或最小值.又 f(x) = 3-3 = 3x-x3,OxV3x3-3x,3x2.3x-
6、x3,Ox3故f(x)=h(2-l),3x2,不存在,X=V3.令f(X)=O,得X=LVf(O)=O,f(2)=2,f(3)=0,f(1)=2,.f(x)在-2,2上的最大值为2,最小值为0.类题演练2求函数y=5-36x+32+4/在区间-2,2上的最大值与最小值.解：y=-36+6x+12x2=6(2x2+x-6).3令y=0,解得x=-2,x2=-.233因为f(-2)=57,f(一)=-28-,f(2)=-23,243所以函数的最大值为57,最小值为-28.4变式提升2求函数f(x)=3-3x,6-2在区间-1,1上的最值.解：f(x)=3x2-6x+6=3(x2-2x+2),因为f
7、(x)在-1,1内恒大于0,所以f(x)在-1,11上是增函数，故当X=T时,f(x)取得最小值T2,当x=l时,f(x)取得最大值2.即f(x)的最大值为2,最小值为-12.类题演练3：当x(l,2时，函数f(x)=一一恒大于正数a,试求函数y=lg(a?-a+3)的最小值.2x1,X(21)-x(21)=21-2x一1：*y(21(2x-l)2(21)2-(2x-l)22当X(1,2时，yOf(x)在(1,2上单调递减,于是f(x).=f(2)=.32由题意知a的取值范围是a11=lg-.2424变式提升3如图，在二次函数f(x)=4-2的图象与X轴所围成的图形中，有一矩形ABCD,求这个矩形ABCD的最大面积.解:设点B的坐标为(x,0)(0x2),那么矩形ABCD的面积S=(2-x)2(4-2)=2(x3-6x2+8x).S,=2(3x2-12x+8).2 2由S=0得x=2-3或x=2+-3(不合题意，舍去)，3 32当0x0；3，/3当2-x2时,S0.3所以x=2-2J时,S有最大值8JL
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