第3章 振动系统的运动微分方程题解.docx

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1、3-1复摆重P,对质心的回转半径为质心距转动轴的距离为。，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。O七._0解:系统具有一个自由度，选复摆转角9为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。YSx复摆在任意位置下，依据刚体绕定轴转动微分方程zWJo=Mo题31图P其中JO=(区+)得到复摆运动微分方程为-(Pc+/)0=Pacosg或(夕；+A?)0-COS=O32均质半圆柱体，质心为C,与圆心Oi的距离为e,柱体半径为/?,质量为?，对质心的回转半径为夕c，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。解：系统具有一个自由度，选。为广义坐标。半圆柱体在任意位

2、置的动能为：T=/Hv31HJCG)一2c2c用瞬心法求vc：吆=(CC702=(e2+A?_2cos062co=Jc=mp故T=n(e2+R2-2Recos)2区心系统具有抱负约束，重力的元功为V=TWgeSind应用动能定理的微分形式dT=Wdm(e2+R22Recos8)d2+；mp汶?=-mgesMdm(e2+/?2+pl)cl-ImRec03cl+mRe2sind=一ZWgeSincl等式两边同除小，m(e2+R2+/?；)-2mRecos+mRe1Sined=-mgesin白0,等式两边同除占故微分方程为m(e2+R2-2Recos8+p)+nRe1sin。+/HgesinO=0若

3、为小摇摆Sinen6,CoSea1,并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摇摆的微分方程为(R-r)2+p+ge=O要点及争论(1)本题也可以用平面运动微分方程求解。系统的受力图与运动分析图如图(b)所示。列写微分方程nixc=-Fm)fc=N-mgm区O=F(R-ecoSe)-NeSine上述方程包含几，yc,fF,N五个未知量，必需补充运动学关系才能求解。建立质心坐标与广义坐标。之间的关系(xc=Re-esinyc=R-ecosJic=R-ecosyc=esin60所以J尤C=R往一ecos63+esin6821%=esin筋+ecose。？运动学方程式与方程联立，消去未知

4、约束力N,F,就可以得到与式相同的系统运动微分方程。由于在抱负约束的状况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不消失，所以用动能定理解决己知力求运动的问题更简便、直接。(2)本题也可用机械能守恒定律求解。系统的动能T=-m(e2+R2-2Recos6)铲+-mpi122选半圆柱体中心Oi所在平面为零势面，系统的势能V=-TWgeCOSe由T+V=Egm(e2+R2-2Recos)2+gmp。?-mgecosB=E两边对时间/求导数，即可得到与式相同的运动微分方程。3-3均质杆A8,长/,质量为机，沿光滑墙面滑下，如题3-3图所示。设水平面也为光滑的。列写该系统的运动微分方程。题3.3图解：系统具

5、有一个自由度，选0为广义坐标。系统在任一位置的动能为TI2,1,2/=V+Jq(D由瞬心法求质心的速度vc=-fJc=-ml2,co=1 1.所以T=-ml222 3系统的主动力图为图(a)所示。重力的元功为6W=mgdrc-mg；Sind由动能定理dT=W所以I)=tnggsind系统的运动微分方程为“3g.八-sin=0要点及争论(1)平面运动刚体可用式T=g2/“一”号说明当。取正值时占为负，即反时针方向。（3）本题也可用平面运动微分方程求解，读者试列出方程。题34图3-4如题3-4图所示，均质圆柱体质量为如半径为r,沿倾斜角为的三角块作无滑动滚动，质量为M的三角块置于光滑的水平面上。列

6、写该系统的运动微分方程。解：系统具有两个自由度，选X、Xr为广义坐标。系统具有抱负约束，且在水平方向的外力为零，所以系统机械能守恒：I2T=-Mx2+m（x+xrcosa）2+（xrsina）2+-mr22222广1 a.211.211.2.11.2=-Mx-mx+-mxr-tnxxrcosa+-mxr2 224r3?1=Mx2+wc+mx2+mxxrcosa242rV=-tngxrsina，水平方向动量守恒。px=CMx+m（x+xrCOSa）=C整理后可分别列写两个方程13（M+m）x2+一二nx1r+tnxxrCOSa-mgxrSina=EMx+m（x+xrcosa）=C式中为系统微分方

7、程的首次积分，对时间r求导后，即可得到系统运动微分方程。3OnAQ_lu+sin=o2mcosaCOSa要点及争论（1）在抱负约束的状况下，动能定理建立了系统的动能与主动力之间的关系，直接给出了系统的速度（或角速度）与位移（或角位移）之间的关系，对时间，求导一次可得到系统的运动微分方程。（2）用动能定理建立系统运动微分方程的步骤为：分析系统受力，在抱负约束的状况下只有主动力作功，所以一般在受力图上只画主动力。建立广义坐标，确定其原点和正方向；分析系统运动，重点是分析速度（角速度），将速度（角速度）用广义速度表示。计算系统在任意位置的动能，将动能表示为广义坐标、广义速度的函数。计算力的功，若用积

8、分形式动能定理，则计算主动力在有限路程上的功，若用微分形式的动能定理，则计算力的元功。应用动能定理建立系统的受力与运动间的关系。（3）在抱负约束、主动力又为势力的状况下，可用机械能守恒定律建立系统运动微分方程。（4）对于多自由度系统，如两个自由度系统，动能定理只给出一个方程，必需与其他定理，如动量定理或动量矩定理联合应用，才能得到此外一个方程。3-5题3-5图所示为刚性建筑模型。刚性基础质量为相，刚性建筑的质量为M,对质心C的转动惯量为10两刚体在O处较接并附有刚度系数为由的扭转弹簧。其他参数如图示。设地基有水平运动Z，试建立系统微幅运动微分方程。图中B=g,q=题3-5图解：应用牛顿矢量力学

9、建立刚体运动的微分方程时，首先要画出每个刚体的受力图，如题3-5图(b)、(C)所示。对于图(b),建立刚体的水平运动微分方程为nix=-k(x-z)-c(i-z)+Fx(1)对于图(c)：建立刚体在铅垂平面内的运动微分方程为c=-FoxM况=Foy-Mg(3)Ic=-kx+Fyasin+Fxacos(4)其中死、”及X均是对固定坐标系的坐标，同时考虑到微小运动的假说，于是有XC=X+sinx+(5)%=sa(6)由方程(1)、(2)消去未知力，户以并考虑式(5)得(M+m)x+Ma+cx+kx=cz+kz(7)又由方程(2)、(3)和(4)消去未知力尸oy、Fo,并考虑式(5)和(6),得M

10、ax+(c+Ma2)+(l-Mga)9=0(8)方程(7)和(8)为系统微幅运动微分方程，若令X和，为确定系统位置的广义坐标，写为矩阵形式那么，方程(7)和(8)改写为矩阵形式如下:(+ tn)MaMaxlc+Ma2)0k0 Ix0(1 - MgG 0cz+ kz0cz-kz0由此例题可以看出，应用牛顿矢量力学建立系统的运动微分方程，肯定要画受力图，于是必定要涉及未知约束力，因此较为繁琐，特殊是该例中的组合刚体系统更是如此。然而对于多自由度系统，应用拉格朗日方程建立运动微分方程较为简洁。另解：由动静法得,以整体为争论对象ZX=O-mx-Mx-k(x-z)-c(x-z)-Macos+M2asin

11、=O以M为争论对象：A=oMxacos+MaOa+Ic-Mgasin+k=0,。很小.,.sin=,cos=又忽视高阶小量82,所以以上两式化简后得：+M)戈+MO+c(e-2)+以X-Z)=OMax+(t.+Ma2)+U1-Mga)9=0化成矩阵形式为：(M+ni)Ma无Ic00Ma(Zc+M62)I+o3-6题3-6图所示两端简支的匀称梁，已知弯曲刚度为E/,单位长度的质量为机，分解：若梁的挠曲函数为WGJ),则动能为1 r2T = -J mw ()dy(a)应变(势能)为=-7Ev2(y)dy(b)2 J O外力功为 A = F(y,r)vv(y)dj(c)布载荷为尸()/)。试用哈密顿

12、原理求运动方程。题3.6图将式(a)、式(b)与式(C)代入变分式=z(T-)dr+z2Ad=O(d)得到JJmVVd)dr-JJfwwd)也+JF(y)vvjdr=0(e)对式(e)进行分部积分运算，得到仙曲Vd)，Lj/Mvd)d-(Ewff)vvrd/tlJoJtl(0+J(Ew)卬Md/-JJ。(E7vv)wdyck+JJ(y,7)vdydz=0由于，/=八时，哈密顿原理要求w=o,因而式变为-Ij”2HxbdZ-J(Ev*)vv/d/+J-(7卬)wd/-J：J：(Ew)vd)也+JJ；尸(招)wd/=O由于，力与/2区间的虚位移3w不行能为零，由此，得到梁的边界条件(Cf7wff)lV*=O(h)(CEiwydwla=o与运动方程7wvv+(EIwh),t=F(y)(i)两端简支的梁，明显是满意边界条件式(h)的。3-7应用拉格朗日方程导出题4-7图所示系统的运动微分方程。题3-7图解：取各质量偏离其平衡位置的制、M、X3、W为广义坐标。即qi= xi i = 1,2,3,4则系统的动能Tl- 21. 21. 21- 2T = -fxx +-m2x2 +-W3X3 +耳?4%系统的势能为121112v = -kx +-f2(2 -xi) +