【《微积分在生活中的应用（论文）》5500字】.docx

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1、微积分在生活中的应用1 .微积分在生活中应用的必要性和重要性错误东被书签。2 .微积分在物理学中的应用22.1. 速度22.2. 变力做功53 .微积分在经济学中的应用63.1. 边际63.2. 弹性94 .微积分在中学教学中的应用104.1. 函数极值问题H4.2. 切线问题125 .总结语13参考文献14微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是对事物发生变化进行数学分析的主要手段，包含了极限理论、导数、微分学、积分学等的知识应用，其中极限的概念和理论是关键内容。而且随着应用范围的不断扩大，它也可用相应的符号来进行讨论，如三角函数曲线y=sinx,速度U=

2、工加速度=上和斜率k等，也包括了积分的运算，tt并且为了算面积和体积提供了可行的办法。数学对于研究者来说是解决问题和支撑研究结果的基本方法。随着信息技术的不断突破，现在的实际问题越来越困难复杂，如果只是利用初等数学知识理论很明显已经不能满足对问题进行解决，这时候就需要更加深层次的知识。此时微积分相关知识理论可以为分析问题和解决问题提供更加可靠的支撑。因为它是一种先进的数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念。在数学这棵大树里，

3、微积分就是树干的主要部分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。而且可以利用微积分为宏观计算信息提供帮助，在信息化高速发展的时代，可以用计算公式的软件借助微积分的基础理论进行更高效的数据处理，这样可以让解决问题的的效率更进一步。1 .微积分在物理学中的应用1.1. 速度当质点做直线运动时，它的位置X随时间r变化而变化，即x=x(t)。物体在to到t时间内，位置的变化应为x=x(力)-x(fo),所以Ar和加的比值表示该时间内的平均速度，用P=芋表示，平均速度表示物

4、体在一段时间内运动的快慢。但是对于某一时刻的情况，用平均速度是反映不出来的，需要用到瞬间速度，它是路程变化和变化发生所需时间之间的比值，即空。它是物体在某一时刻或通过某一位置时的时速，以及与该时间相邻的无限短时候内的位移与通过位移所用时刻的比值。若使AtfO,这时加内的平均速度就趋于瞬时速度。所以瞬时速度U可表示为：1,NXdxV=Iim=AfToAfdt如果想知道速度随时间的变化程度，就需要知道什么是加速度。加速度是速度变化和变化发生所需时间之间的比值，即?，是描述物体速度变化/快慢的物理量，通常用。表示。根据之前的瞬时速度为切入点，取At-O的极限即可得瞬时加速度：1.vdva=Iim=,

5、0Zdt例1：已知A、8两市相距3200m,一辆汽车从A市出发，向8市驶去，该汽车做变速运动，启动时候的加速度m=3.2阳/，且做的是匀加速直线运动，到达8市之前，做的是匀减速直线运动，加速度。2=12.8/，到达8市时便停止了。试求出汽车从A市到8市的最短时间，同时在这种情况下最大的速度。解：从题中知道A、B两市相距s=3200m,启动时加速度为%=3.2机/,做匀减速直线运动时加速度%=128ms0汽车在整段运动中分为3个不同的阶段，匀加速直线运动、匀速运动、匀减速直线运动。其中，匀速运动的速度为V,运动时间为r,则（r2、VVrS=Vt+1（2“Ia2）sa.,r=+-VV271a2将f

6、视为最大速度U的函数并进行求导，并令导数等于0,则dts1a.a_=7=OdvV4+a2I27,6Z-V=/!SYq+4带入数据得v=128m/s所以，=2*D=50s,汽车从匀加速直线运动开始，当速度达到Vala2128m/s后转为匀减速直线运动，这样运动时间为最短为50so在UT图像中我们都知道物体匀速运动时它们围成的面积就是物体运动的位移的大小（图1）。图1当一个物体以不均匀的速度移动时（图2）,我们能将时间分割成许多段。在每一段中，它们近似地被视为匀速运动，因此每一段的面积就是每一段的位移。然后把所有分段的面积加起来，总面积就是总位移。处理曲线的时候，我们把时间切成很多块，用每一个小块

7、的面积之和去无限接近总面积，这就是积分的思想。1.2.变力做功微积分在物理学中的形式千变万化。不同的函数在物理学中有不同的含义。比如上面提到的速度问题。当一个质点有规律地运动时，它会在一段时间内发生位移。当时间无限接近O时，位移与时间之比的极限为瞬间速度。此外，微积分还能表示机械做功的快慢。当机械在一段时间内做功时，当时间接近O时，通过机器所做的功与时间之比的极限即是瞬间功率。不仅如此，微积分还可表示机械做功的快慢，如某机械在一段时间内做功时，当时间的变化量趋近于0,机械所做的功与所用时间的比值的极限就是到瞬时功率。求质点在变力作用下沿着曲线从起点到终点的总功。微积分是研究变力做功问题的最佳方

8、法，对变力做功的每一个变化过程进行微分，然后对微分范围内的力做功进行计算分析，再对范围内的功进行积分，这样可以得到变力做功的多少，这种计算方法是计算变力做功最准确的方法。若力的方向是变化的，我们也可以对质点运动的路径进行微分，每一个微分范围内的力的方向可以看作是不变的元位移（表示极小的位移）内所做的功，因为在元位移上面的力可以看做是恒定不变的，之后再对每一微分的部分的做功进行计算分析，积分后即可得出。例：质量为LMg的木块套在光滑的直杆上，一根轻绳（不可伸长）跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。绳子的端头作用恒力尸，F=SN,木块在A处有向上的速度%=2ms,求木块被拉到B时的速度

9、。0.5m图3解：木块从A到8受到3个力的作用，虽然力的大小没发生改变，但是力的方向在不断变化，所以此题为变力做功。以地面为参考系建立坐标系A-冲三个变力做功分别为:AN=OAy=-mg(yB-yA)=-1.29.80.5=-5.88Jf.5r.5FCOSe dy0.5-y.52+(.5-y)dy-yf50.52+(0.5-y)2z2(0.5-y)212.43J由动能定理可得47+4+&.=5一不加4,带入数据可以得至|乙乙vr=3.86m52.微积分在经济学中的应用2.1. 边际微积分与经济工作紧密相连，所以在经济学中的微积分的应用有很多种,比如利用微积分进行边际分析和弹性分析、最值分析等。

10、在经济学中，描述两个变量之间的变化会经常用到“边际”这个词汇。边际一词表示自变量X的变化量加:无限接近于。时，目标函数)，相应的变化量Ay和自变量的变化量AX之间的比值学的变化。从对边际的描述我们x可以看出边际就是微积分中的导数在经济学中的表现形式，表示y=f对自变量X的一阶导数T(X)称为/(X)的边际函数，记作M)%所以边际函数My=/(幻的经济含义：在一定范围内,当自变量X改变后，目标函数y=f的增加量。边际函数经济意义的含义会随着经济变量X和y的具体含义的不同，也有相应的变化。在经济学中，边际涉及到很多方面，如边际成本、边际需求、边际利润等等，它们都可以通过数学来表达出来。其含义为表所

11、示：函数表达式经济意义边际成本Cy1C(x+AX)-C(X)C(X)=IlmAYrOzCa)为总成本函数，Ca)是产量为X时的边际成本。边际成本是指生产X个单位到5+1)个单位的成本的增加量。总成本C(X)斜率为边际成本。边际收入R=R(X)=PX总收入函数R(X)对销量X的变化率R()即为销量X的边际收入边际收入是指销售出X个单位到(X+D个单位的收入的增加量。总收入H(X)曲线的斜率即为边际收入。边际利润U(X)=R(X)-C(X)R(x)C(x)时，L(x)0边际利润是指销售出X个单位到(%+1)个单位的利润的增加量。总收入(幻曲线的斜率即为边际利润。例1：投资某个产品的固定成本为36元

12、，且边际成本C(X)=2x+40(元/百台)，试求产量有400台增加至600台的总成本增加量，及产量是多少时可以让平均成本最低。解：由题目可知：边际成本：C,(X)=2x+40总成本为:C(X)=x2+40x+36400台增加至600台的总成本增加量为：(以百台为单位)C=(2x+40)dx=8+40疗=100平均成本为：面CuM+c, + .+36= x + 40+- X对上述函数进行求导而=1-当=0,解得户6,导数取最小值。所以产量600台时平均成本最低。例2:某公司对产品的利润和产量情况进行分析后，得出总利润L=L(X)(万元)和每个月的产量X(千克)的关系表达式为：L=L(X)=50

13、1-/试着确定每月生产20千克，25千克，30千克的边际利润，并合理运用经济学解释。解：由题目可得：总利润：L=L(x)=50x-x2对其进行求导：L,(x)=5O-2x所以V(20)=10,V(25)=O,L,(30)=-10由结果可以知道，当每个月产量为20千克时，每增加1千克，利润揩增加10万元；当每个月产量为25千克时，每增加1千克，利润不发生改变；当每个月产量为30千克时，每增加1千克，利润揩减少10万元。所以对于一个公司来讲，产品生产的越多利润并不一定会增加。2.2. 弹性在边际分析中研究的是绝对变化量与绝对变化率。但是在实际生活中，我们不仅要用到边际分析应用，还要研究相对变化率与

14、相对变化量，也就是弹性分析。弹性在经济学中指的是经济变量之间的函数关系，它的大小是两个变量之间的比值（弹性系数）.弹性系数是两个互相关联的经济指标在一定期间内的增长速度之比率。它衡量一个经济变量的增长率对另一个经济变量的增长率的依赖性。弹性公式：弹性系数=因变量的百分比自变量的百分比若用两个经济变量来表达其函数关系,以Ar,Ay分别表示,y的变化量,用e来表示弹性系数yyXAy=xxyx当X的变化量以趋近于。时，弹性系数表示为：vyydyXe=Iimy=Asor/%dxy与边际相似，在不同函数下也有着多种弹性。比如需求弹性，收入弹性，供给弹性等等。例如，在需求弹性，我们通常用价格弹性系数来表示

15、：需求弹性系数=需求变化百分比/价格变化百分比。Q表示商品的需求量。P表示商品的价格。口dQP_QQdPQPP当需求弹性大于1时，意味着商品具有弹性或高度弹性。此时，产品需求的变动幅度大于价格的变化幅度。因此，此时应降价，使产品需求量升高，从而达到提高总收入的目的。当需求弹性等于1时，产品为单位弹性。此时，产品需求的变动等于价格的变动。因此，无论价格怎么变化，对总收入的影响都很小。当需求弹性小于1时，意味着商品缺少弹性或低弹性。此时，产品需求的变化幅度小于价格的变化幅度。因此，当物价上涨时，总收入就会提高。例2:一个工厂试着分析它的销售量和价格政策，从而确定年生产水平。价格P与需求Q的关系为P+30=5OO,可变成本为420Q-O?,假设生产水平等于其需求水平Q,固定成本为7000/年。求实现利润最大化的时的需求弹性解：由题目可