初中几何模型：四点共圆模型.docx

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1、初中几何模型：四点共圆模型四点共圆：若在同一个平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称四点共圆.一、模型1：定点定长共圆模型(圆的定义)若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆.如图，若OA=C)B=OC=C)D,则A,B,C,D四点在以点0为圆心、OA为半径的圆上.例1、如图，点0为线段BC的中点，点A、C、D到点0的距离相等，若NABC=40,求NADC的度数.解：由题意得到OA=OB=OC=C)D,作出圆。，如图所示，四边形ABCD为圆0的内接四边形，.zABC+zADC=180of.zABC=40o,.ZADC=140。例2、如图，四边形ABCD中，DA=DB=DC

2、,NBDC=72,求NBAC的度数.解：如图，DA=DB=DC,.AB、C在以点D为圆心的圆上.zBAC=zBDC=36o.二、模型2:对角互补共圆模型若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆.如图，在四边形ABCD中，若NA+zC=180(或NB+ND=180)则A,B,C,D四点在同Y圆上.拓展：若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆.如图，在四边形ABCD中，ZCDE为外角，若NB=/CDE,则A,B,C,D四点在同一个圆上.例1、已知：如图，四边形ABCD中，AC平分/BAD,zB+zD=180o.求证:BC=CD.B解:.zB+zD=180oAsB

3、、CxD四点共圆。/AC平分NBAD.,.zDAC=zCAB,BC=CD三、定边对双直角共圆模型B，冬。EI/、，同例型1、定边对双直角模型（同侧型）若平面上A、B、C、D四点满足NABC=NACD=90,2、定边对双直角模型（同侧型）若平面上A、B、C、D四点满足NABC=NADC=90,例1、如图，四边形ABCD中，AC=BC,zACB=90o,求线段AB的长.二,一一、rxaJ:cB-异伸型则：A、B、C、D四点共圆，其中AD是直径.则：A、B、C、D四点共圆，其中AD是直径.,ADBD于点D,若BD=2,CD=2解:.zACB=90o,ADBD.AB、D、（:四点共圆，且AB为直径作C

4、F_LCD,交AD于点F,AD与CB交于点E,如图所示.zABC=450.zADC=45,ACFD是等腰直角三角形.1.FD=y/2CD=8.CDCF.-.CF=CD.zCAF=zCBD,AC=BC.,.AF3CBD.1.AF=BD=2.1.AD=AF+FD=2+8=10.AB=yAD2BD2=102+22=2y26例2、如图，等腰RtAABC中，nACB=90。，D为BC上一点，连接AD.作BEAD延长线与点Ef连接CE,求证：zAEC=45o.D证明:等腰RtAABC中,zACB=90o.1.AC=BC,zABC=zCAB=450.BEAD,.zAEB=90o.zAEB=zACB.AB、E

5、、C四点共圆.zAEC=zABC=45o.四、模型4:定弦定角共圆模型若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆.如图，点A,D在线段BC的同侧，若NA=ND,则A,B,C,D四点在同一个圆上.例1、如图，已知&ABC是等腰直角三角形，点D在线段BC上，四边形ADEF是正方形，连接FC,求证：FCBC.证明：如图，连接DF.四边形ADEF是正方形.zAFD=450VMBC是等腰直角三角形.zACB=450.,.zAFD=zACB.AD、C、F四点共圆.zFAD=90o,zFAD+zDCF=180o.zFCD=90.FCBC.例2、如图，在RtAABC中,zBAD=90o,zABC=40o,将AABC绕A点顺时针旋转得到dADE,使D点三EBCt.(1)求NBAD的度数;(2)求证：A、D、B、E四点共圆.解：（1）RbABC中，zBAD=90o,zABC=40.zC=50o将AABC绕A点顺时针旋转得到&ADE,使D点落在BC边上.1.AD=AC.zADC=zC=50o.zADC=zABC+zBAD=50o.-.zBAD=50o-40o=10o.证明：（2）.将SBC绕A点顺时针旋转得到ADE.zAED=zABC.AD、B、E四点共圆.