数理方程试卷A.docx

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1、0902403班2011-2012春学期课表星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日第1节董学励讲授的现代交换技术0于6-10周在N楼114上课孙玉德讲授的单片机原理及应用0于1-9周在M楼205上课董学励讲授的现代交换技术0于6-10周在N楼114上课孙玉德讲授的单片机原理及应用0于1-9周在M楼205上课董学励讲授的现代交换技术0于670周在N楼114上课第2节刘爱军讲授的通信原理0于2-13周在M楼303上课刘爱军讲授的通信原理0于2-12周在M楼301上课宋立众讲授的微波技术0于5-16周在M楼203上课刘志勇讲授的嵌入式操作系统0于1-9周在N楼114上课刘功亮讲授的专业综合课程设

2、计0于19-20周上课I王永玲讲授的电子学课程设计1于2周上课第3节刘志勇讲授的嵌入式操作系统0于ITO周在N楼114上课王好贤讲授的移动通信0于2-8周在N楼114上课第4节宋立众讲授的微波技术0于5-16周在M楼303上课王好贤讲授的移动通信0于2-9周在N楼114上课第5节第6节s:/mybank.icbc/icbcperbankindex,jsp一.:/trade.taobao/trade/detail/trade_item_detail.htm?bizOrderId=129051553492180sb2c.icbcicbcperbankindex.jsp:/trade,taobao/

3、trade/itemlist/list_bought_items.htm?nekot=1330061587461#（10分）填空题一：ShOD58867860.taobao?SDm=IIo3wA2k.6A77V29nTyO先登录个人网上银行密码a521114电子密码器的开机密码是900114进入淘宝付款后需要同时使用电子密码器和网上交易总之：先登录个人网上银行，交易时翻开电子密码器即可刘哲ab和132878760961 .初始位移为O（X）,初始速度为HX）的无界弦的自由振动可表述为定解问题：ujt=auxx,-xOMM)=*(),%L=(%)2 .为使定解问题ul=a1uxx=0,uua，X

4、L=/0(。为常数)u=0IIr=O中的边界条件齐次化,而设(Xj)=V(X)+VVo),那么可选w(x)=U0X3.方程Uy=O的通解为w(,y)=F(x)+G(y)4,只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为村西问题.5.方程%y=Yy满足条件N(X,0)=f,U(Oy)=CoSy-I的特解为u(x,y)=-x3y2+x2+cosy-l二 .(10分)判断方程wxx+y=的类型，并化成标准形式.解：因为A=-y2o(yo),所以除X轴外方程处处是椭圆型的。2分它的特征方程是图,+y2=o即包=jydx特征线为Iny-ix=c1,Iny+fx=C2作变换：W = Iny = x求偏导数10分

5、将二阶偏导数代入原方程，便可得到标准形式%+ufi=u.三 .（10分）求解初值问题-x04=O=COSX解：a=2,(x)=x2,(x)-cosx利用达朗贝尔公式w(x,0=+ct)+(x-at)+)d5分得w(x)=(x+2r)2+&-21)2+；J:COS)J=X2+4r2sin(x2/)-sin(x-2/)4=x2+4r+Cosxsin2r2四.(15分)用别离变量法解定解问题2ull=auxx,O%O%L=o=,uL=/=0UM)=X，wL=0=0解先求满足方程和边界条件的解.设解为U(XJ)=X(X)T2分代入方程得X(x)r(r)=2Xff(X)HO除以()有X二r)二.X(X)

6、a2T(t)得到两个常微分方程X(x)+/IX(X)=O3分(t)+a2T(t)=04分由边界条件得X(0)T(f)=0,X()T(f)=0由丁(力。0,得X0)=0,Xf(I)=O5分于是固有值问题为X(%)+；I(Ar)=0,X0)=0,X,(l)=0解之得一系列固有值A=Aft=(与P,=0,1,2,相应的固有函数为Xn(x)=cosx再解方程r(r)+()2T(r)=0,通解为/、厂naA.naT(t)=Ctlcosr+Dnsin-t利用解的叠加原理，可得满足方程和边界条件的级数形式解z、十/八naC.nmxn八w(x)=工(Ctlcosf+DnsinOcosx12分H=IlII由初始

7、条件/L=O=0,得2=0,13分由4=O=工,得x=Ccosx/1=1/其中CI)fxdr=TCli=!fXCOS竽公=7-(-ir-l,=1,2,14分Zjo/n)将Ch,0,代入ux,t）得定解问题解15分心），+二坐35北。S丝2Ztn2II五.(15分)解非齐次方程的混合问题ut=uxx+X,0X0un=0,u0,/0Ix=O=“c=0.0xIz=O解先确定固有函数X(x).令鼠XJ)=X(x)T代入相应的齐次方程和齐次边界条件得固有值问题Xff(x)+X(x)=0X(O)=O,X(%)=0固有函数为X(X)=Sin叫=1,2,设解为OON(Xj)=E。sinx(1)w=l其中7；是

8、待定函数.显然(W)满足边界条件为确定函数方,先将方程中的非齐次项展为固有函数级数x=A(0sinw=1其中.(-1)h+,2fn(t)=-xsinnxdx=万Jn再将(1),(2)代入方程得im+2XK(t)+n2(t)Sinrzx=O=iL_比拟系数,有北+n2Tll(t)=0-2,=1,2,n由初始条件得3Z,(O)sinx=0n=l所以7；(O)=O解初值问题U,w=nF(O)=O,得入=n将7；代入级数(1),得定解问题的解.10分11分14分w(x)=(1一一)Sinnx=In15分六.(15分)用积分变换法解无界杆热传导问题ut=auxx.-x0lo=9(x)2，1此题所用公式：

9、F-e-at=-1=e4岛2m解对X作傅氏变换，记M(,r)=Fw(x,r)0(4)=F(x)对方程和初始条件关于X取傅氏变换，有du02=-audt.矶go=0(4)解常微分方程的初值问题，得10分u(9t)=Weat再对u(,t)进行傅氏逆变换得w(x)=F70(团。一%13分1上=(x)*7=e2a7rt+(Y-二五焉Ige“延”分七.(15分)用静电源像法求解上半平面y0的狄利克雷问题J/x+%,y=0,y0Iy=O=/(%).解先求格林函数，由电学知在上半平面y0的点MO(X(PyO)处置单位负电荷，在M0关于X轴的对称点Ml(XoLyO)处置单位正电荷，那么它与MO产生的电势在X轴

10、上互相抵消，因此上半平面y0的格林函数为G(M,M0)=-(ln-!-In)2万rMMnrMMl=-n(x-x0)2+(y-y0)2-ln(x-x0)2+(y+y0)2)7分4;T下面求丝I=_丝|加IyRJ=0=J2(y-%)2(y+y0)4(x-x0)2+(j-y0)2(x-x0)2+(y+J0)2Jy=O=-a710分九(-)*+y0所以m(o,o)=-();k2dx15分Jlnj-co(-0)+y八.(10分)证明调和方程的狄利克雷内问题的解如果存在,那么必是唯一的,而且连续地依赖于所给的边界条件/.证明：假设有两个调和函数/0,y,z)和2(,y,z),它们在有界区域。的边界上完全相同，那么它们的差2在。中也满足方程Au=。，且Ir=0。由极值原理的推论知，函数在区域。上最大值和最小值均为零，即三0。因此小三2,即狄利克雷内问题的解是唯一的。5分其次，设在区域Q的边界上给定了函数/和广，而且在F上处处成立|/-/归,这里是一个给定的正数。设“，*分别是方程=0在区域Q上以/和广为边界条件的狄利克雷内问题的解，那么调和函数产。由极值原理的推论可得，在C上各点有max(w-U*)=max(-*),min(w-w*)=min(-f*)-.因此，在C上各点有u-w*max-f,即狄利克雷内问题的解连续地依赖于所给的边界条件。10分